Selasa, 21 Juli 2009
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Getaran
Untuk SMA Kelas XI
(Modul ini telah disesuaikan dengan KTSP)
Penulis
Alexander San Lohat (San)
Saya berasal dari Waienga, Lembata – Flores Timur, Nusa Tenggara
Timur (NTT). Saat ini kuliah pada Program Studi Pendidikan Fisika
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Saya mendirikan gurumuda.com, situs elearning fisika SMA (gratis).
Aktiv sebagai penulis materi pelajaran fisika SMA, mengelola
konsultasi tugas sekolah dan bimbingan belajar fisika online pada
situs saya.
Email : gurumudaweb@gmail.com
Website : gurumuda.com
Lisensi Dokumen:
Copyright © 2008-2009 GuruMuda.Com
Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara
bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus
atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam
setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali
mendapatkan ijin terlebih dahulu dari GuruMuda.Com.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Materi Pembelajaran :
Getaran
Tujuan Pembelajaran :
Kompetensi Dasar :
Menganalisis hubungan antara gaya dengan gerak getaran
Indikator :
a. Mendeskripsikan kharakteristik gerak pada getaran pegas
b. Menjelaskan hubungan antara periode getaran dengan massa beban
c. Menganalisis gaya simpangan, kecepatan dan percepatan pada gerak getaran
Tujuan pembelajaran di atas merupakan tuntutan dari Depdiknas RI dalam KTSP. Jadi dirimu harus
mencapai Kompetensi dasar dan Indikator tersebut. Kalau tidak bisa, ntar dapat nilai merah :) alias tidak
lulus. Nah, kali ini Gurumuda membimbing dirimu untuk bisa mencapai tujuan pembelajaran di atas.
Selamat Belajar ☺
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Getaran
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar. Senar gitar yang sering anda main
atau dimainkan oleh gitaris group band musik terkenal yang kadang membuat anda menjerit histeris
bahkan sampai menangis tersedu-sedu, getaran garpu tala, getaran mobil ketika mesinnya dinyalakan
atau ketika mobil mencium mobil lainnya hingga penumpangnya babak belur. Ingat juga ketika anda
tertawa terpingkal-pingkal tubuh anda juga bergetar, demikian juga rumah anda yang bergetar dasyat
hingga ambruk ketika terjadi gempa bumi. Sangat banyak contoh getaran dalam kehidupan kita,
sehingga jika disebutkan satu persatu maka tentu sangat melelahkan. Silahkan dipikirkan sendiri contoh
lainnya.
Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling berkaitan. Gelombang, baik itu gelombang air
laut, gelombang gempa bumi, gelombang suara yang merambat di udara; semuanya bersumber pada
getaran. Dengan kata lain, getaran adalah penyebab adanya gelombang. Mengenai gelombang,
selengkapnya akan kita pelajari pada pokok bahasan tersendiri. Sekarang terlebih dahulu kita pelajari
pokok bahasan getaran. Semoga setelah mempelajari getaran, dirimu tidak ikut bergetar, apalagi ketika
gurumu menyajikan soal-soal hitungan yang membuat dirimu mabuk kepayang.
Gerak Harmonik Sederhana
Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik. Karena
gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga sebagai gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu
partikel melakukan gerak periodik pada lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak
osilasi/getaran. Bentuk yang sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada ujung
pegas. Karenanya kita menyebutnya gerak harmonis sederhana. Banyak jenis gerak lain (osilasi dawai,
roda keseimbangan arloji, atom dalam molekul, dan sebagainya) yang mirip dengan jenis gerakan ini,
sehingga pada kesempatan ini kita akan membahasnya secara mendetail.
Dalam kehidupan sehari-hari, gerak bolak balik benda yang bergetar terjadi tidak tepat sama karena
pengaruh gaya gesekan. Ketika kita memainkan gitar, senar gitar tersebut akan berhenti bergetar
apabila kita menghentikan petikan. Demikian juga bandul yang berhenti berayun jika tidak digerakan
secara berulang. Hal ini disebabkan karena adanya gaya gesekan. Gaya gesekan menyebabkan bendabenda
tersebut berhenti berosilasi. Jenis getaran seperti ini disebut getaran harmonik teredam.
Walaupun kita tidak dapat menghindari gesekan, kita dapat meniadakan efek redaman dengan
menambahkan energi ke dalam sistem yang berosilasi untuk mengisi kembali energi yang hilang akibat
gesekan, salah satu contohnya adalah pegas dalam arloji yang sering kita pakai. Pada kesempatan ini kita
hanya membahas gerak harmonik sederhana secara mendetail, karena dalam kehidupan sehari-hari
terdapat banyak jenis gerak yang menyerupai sistem ini.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Salah satu contoh Gerak Harmonis Sederhana yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah
getaran benda pada pegas.
Gerak Harmonis Sederhana pada Pegas
Semua pegas memiliki panjang alami sebagaimana tampak pada gambar a. Ketika sebuah benda
dihubungkan ke ujung sebuah pegas, maka pegas akan meregang (bertambah panjang) sejauh y. Pegas
akan mencapai titik kesetimbangan jika tidak diberikan gaya luar (ditarik atau digoyang), sebagaimana
tampak pada gambar B. Jika beban ditarik ke bawah sejauh y1 dan dilepaskan (gambar c), benda akan
akan bergerak ke B, ke D lalu kembali ke B dan C. Gerakannya terjadi secara berulang dan periodik.
Sekarang mari kita tinjau hubungan antara gaya dan simpangan yang dialami pegas.
Kita tinjau pegas yang dipasang horisontal, di mana pada ujung pegas tersebut dikaitkan sebuah benda
bermassa m. Massa benda kita abaikan, demikian juga dengan gaya gesekan, sehingga benda meluncur
pada permukaan horisontal tanpa hambatan. Terlebih dahulu kita tetapkan arah positif ke kanan dan
arah negatif ke kiri. Setiap pegas memiliki panjang alami, jika pada pegas tersebut tidak diberikan gaya.
Pada kedaan ini, benda yang dikaitkan pada ujung pegas berada dalam posisi setimbang (lihat gambar
a). Untuk semakin memudahkan pemahaman dirimu,sebaiknya dilakukan juga percobaan.
Apabila benda ditarik ke kanan sejauh +x (pegas diregangkan), pegas akan memberikan gaya pemulih
pada benda tersebut yang arahnya ke kiri sehingga benda kembali ke posisi setimbangnya (gambar b).
Sebaliknya, jika benda ditarik ke kiri sejauh –x, pegas juga memberikan gaya pemulih untuk
mengembalikan benda tersebut ke kanan sehingga benda kembali ke posisi setimbang (gambar c).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Besar gaya pemulih F ternyata berbanding lurus dengan simpangan x dari pegas yang direntangkan atau
ditekan dari posisi setimbang (posisi setimbang ketika x = 0). Secara matematis ditulis :
F = -kx
Persamaan ini sering dikenal sebagai hukum hooke dan dicetuskan oleh paman Robert Hooke. k adalah
konstanta dan x adalah simpangan. Hukum Hooke akurat jika pegas tidak ditekan sampai kumparan
pegas bersentuhan atau diregangkan sampai batas elastisitas. Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya
pemulih alias F mempunyai arah berlawanan dengan simpangan x. Ketika kita menarik pegas ke kanan
maka x bernilai positif, tetapi arah F ke kiri (berlawanan arah dengan simpangan x). Sebaliknya jika pegas
ditekan, x berarah ke kiri (negatif), sedangkan gaya F bekerja ke kanan. Jadi gaya F selalu bekeja
berlawanan arah dengan arah simpangan x. k adalah konstanta pegas. Konstanta pegas berkaitan
dengan kaku atau lembut sebuah pegas. Semakin besar konstanta pegas (semakin kaku sebuah pegas),
semakin besar gaya yang diperlukan untuk menekan atau meregangkan pegas. Sebaliknya semakin
lembut sebuah pegas (semakin kecil konstanta pegas), semakin kecil gaya yang diperlukan untuk
meregangkan pegas. Untuk meregangkan pegas sejauh x, kita akan memberikan gaya luar pada pegas,
yang besarnya sama dengan F = +kx. Pegas dapat bergerak jika terlebih dahulu diberikan gaya luar.
Amati bahwa besarnya gaya bergantung juga pada besar x (simpangan).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Energi pada Gerak Harmonik Sederhana
Pada Gerak Harmonik Sederhana, gaya yang bekerja pada benda dan pegas tidak tetap alias selalu
berubah-ubah. Oleh karenanya, lebih mudah jika kita menggunakan pendekatan energi. Untuk menekan
atau meregangkan pegas, kita memberikan energi pada pegas tersebut. Energi yang disimpan pada
pegas yang tertekan atau teregang merupakan energi potensial. Ketika pegas yang kita tekan atau kita
regangkan dilepaskan, maka energi potensial pegas berubah menjadi energi kinetik. Demikian juga pada
ayunan sederhana. Ketika benda yang digantungkan pada seutas tali kita simpangkan sampai jarak
tertentu dari posisi setimbangnya, pada benda tersebut terdapat Energi Potensial. Jika ayunan
dilepaskan sehingga benda bergerak, Energi Potensial akan berubah menjadi energi kinetik. Jadi benda
yang bergerak harmonik memiliki energi potensial dan energi kinetik. Jumlah total energi potensial dan
energi kinetik adalah energi mekanik. Sekarang mari kita tinjau energi pada pegas dan ayunan
sederhana.
Energi Potensial pada Pegas
Untuk menghitung energi potensial pada pegas, terlebih dahulu kita hitung kerja alias usaha yang
dibutuhkan untuk meregangkan pegas.
Persamaan Usaha adalah W = F s, di mana F adalah gaya dan s adalah perpindahan. Pada pegas,
perpindahan adalah simpangan x. Ketika kita menekan atau meregangkan pegas sejauh x, dibutuhkan
gaya Fa yang berbanding lurus dengan x. Secara matematis ditulis Fa = kx. Ketika ditekan atau
diregangkan, pegas memberikan gaya dengan arah berlawanan (Fb) yang besarnya adalah Fb = -kx.
Untuk menghitung energi potensial dari pegas yang tertekan atau teregang, terlebih dahulu kita hitung
usaha atau kerja yang dibutuhkan untuk merentangkannya. Kita tidak bisa menggunakan persamaan
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
usaha W = Fx, karena gaya Fa baik ketika pegas diregangkan maupun ditekan selalu berubah-ubah
sepanjang x. (amati gambar di atas). Oleh karena itu kita menggunakan gaya rata-rata. Gaya Fa berubah
dari 0 ketika x=0 sampai bernilai kx ketika pegas diregangkan atau ditekan sejauh x.
Gaya rata-rata = F = ½ (0 + kx) = ½ kx. x adalah jarak maksimum pegas yang diregangkan atau ditekan.
Usaha alias kerja yang dilakukan adalah :
W = Fa x = (1/2 kx) (x) = ½ kx2
Dengan demikian, nilai Energi Potensial elastis adalah :
EP elastis = ½ kx2
Energi Kinetik pada Pegas
Perlu anda ketahui bahwa Energi Potensial tidak mempunyai suatu persamaan umum yang mewakili
semua jenis gerakan. Untuk EP elastis telah kita turunkan pada pembahasan di atas. Berbeda dengan
EP, persamaan EK bersifat umum untuk semua jenis gerakan. Energi Kinetik dimiliki benda ketika
bergerak.
Besar energi kinetik adalah :
EK = ½ mv2
m adalah massa benda dan v adalah kecepatan gerak benda.
Jumlah total Energi Kinetik dan Energi Potensial dari pegas adalah Energi Mekanik. Energi tersebut
bernilai tetap alias kekal. Secara matematis ditulis :
EM = EP + EK
Sekarang, mari kita tinjau lebih mendalam hukum kekekalan energi mekanik pada pegas. Getaran pegas
terdiri dari dua jenis, yakni getaran pegas yang diletakan secara horisontal dan getaran pegas yang
digantungkan secara vertikal.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Hukum kekekalan energi mekanik pada pegas
Pegas yang diletakan horisontal
Misalnya kita letakan sebuah pegas di atas permukaan meja. Salah satu ujung pegas telah diikat pada
dinding, sehingga pegas tidak bergeser ketika digerakan. Anggap saja permukaan meja sangat licin dan
pegas yang kita gunakan adalah pegas ideal sehingga memenuhi hukum Hooke. Sekarang kita kaitkan
sebuah benda pada salah satu ujung pegas.
Jika benda kita tarik ke kanan sehingga pegas teregang sejauh x, maka pada benda bekerja gaya pemulih
pegas, yang arahnya berlawanan dengan arah tarikan kita. Ketika benda berada pada simpangan x, EP
benda maksimum sedangkan EK benda nol (benda masih diam).
Ketika benda kita lepaskan, gaya pemulih pegas menggerakan benda ke kiri, kembali ke posisi
setimbangnya. EP benda menjadi berkurang dan menjadi nol ketika benda berada pada posisi
setimbangnya. Selama bergerak menuju posisi setimbang, EP berubah menjadi EK. Ketika benda tepat
berada pada posisi setimbang (x = 0), gaya pemulih pegas bernilai nol tetapi pada titik ini kecepatan
benda maksimum. Karena kecepatannya maksimum, maka ketika berada pada posisi setimbang, EK
bernilai maksimum.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Benda masih terus bergerak ke kiri karena ketika berada pada posisi setimbang karena benda memiliki
kecepatan yang bernilai maksimum. Ketika bergerak ke kiri, Gaya pemulih pegas menarik benda kembali
ke posisi setimbang, sehingga benda berhenti sesaat pada simpangan sejauh –x dan bergerak kembali
menuju posisi setimbang. Ketika benda berada pada simpangan sejauh –x, EK benda = 0 karena
kecepatan benda = 0. pada posisi ini EP bernilai maksimum.
Pada penjelasan di atas, tampak bahwa ketika bergerak dari posisi setimbang menuju ke kiri sejauh x = -
A (A = amplitudo/simpangan terjauh), kecepatan benda menjadi berkurang dan bernilai nol ketika benda
tepat berada pada x = -A. Karena kecepatan benda berkurang, maka EK benda juga berkurang dan
bernilai nol ketika benda berada pada x = -A. Akibat adanya gaya pemulih pegas yang menarik benda
kembali ke kanan (menuju posisi setimbang), benda memperoleh kecepatan dan Energi Kinetiknya lagi.
EK benda bernilai maksimum ketika benda tepat berada pada x = 0, karena laju gerak benda pada posisi
tersebut bernilai maksimum. Proses perubahan energi antara EK dan EP berlangsung terus menerus
selama benda bergerak bolak balik. Total EP dan EK selama benda bergetar besarnya tetap alias kekal
bin konstan.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Pegas yang diletakkan vertikal
Pada dasarnya osilasi alias getaran dari pegas yang digantungkan secara vertikal sama dengan getaran
pegas yang diletakan horisontal. Bedanya, pegas yang digantungkan secara vertikal lebih panjang karena
pengaruh gravitasi yang bekerja pada benda (gravitasi hanya bekerja pada arah vertikal, tidak pada
arah horisontal). Mari kita tinjau lebih jauh Kekekalan Energi Mekanik pada pegas yang digantungkan
secara vertikal...
Pada pegas yang kita letakan horisontal (mendatar), posisi benda disesuaikan dengan panjang pegas
alami. Pegas akan meregang atau mengerut jika diberikan gaya luar (ditarik atau ditekan). Nah, pada
pegas yang digantungkan vertikal, gravitasi bekerja pada benda bermassa yang dikaitkan pada ujung
pegas. Akibatnya, walaupun tidak ditarik ke bawah, pegas dengan sendirinya meregang sejauh x0. Pada
keadaan ini benda yang digantungkan pada pegas berada pada posisi setimbang.
Berdasarkan hukum II Newton, benda berada dalam keadaan setimbang jika gaya total = 0. Gaya yang
bekerja pada benda yang digantung adalah gaya pegas (F0 = -kx0) yang arahnya ke atas dan gaya berat (w
= mg) yang arahnya ke bawah. Total kedua gaya ini sama dengan nol. Mari kita analisis secara
matematis...
F mg kx F mg o o Σ = - = 0 ® =
Gurumuda tetap menggunakan lambang x agar anda bisa membandingkan dengan pegas yang diletakan
horisontal. Dirimu dapat menggantikan x dengan y. Resultan gaya yang bekerja pada titik kesetimbangan
= 0. Hal ini berarti benda diam alias tidak bergerak.
Jika kita meregangkan pegas (menarik pegas ke bawah) sejauh x, maka pada keadaan ini bekerja gaya
pegas yang nilainya lebih besar dari pada gaya berat, sehingga benda tidak lagi berada pada keadaan
setimbang (perhatikan gambar c di bawah).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Total kedua gaya ini tidak sama dengan nol karena terdapat pertambahan jarak sejauh x; sehingga gaya
pegas bernilai lebih besar dari gaya berat. Ketika benda kita diamkan sesaat (belum dilepaskan), EP
benda bernilai maksimum sedangkan EK = 0. EP maksimum karena benda berada pada simpangan
sejauh x. EK = 0 karena benda masih diam.
Karena terdapat gaya pegas (gaya pemulih) yang berarah ke atas maka benda akan bergerak ke atas
menuju titik setimbang. (sambil lihat gambar c di bawah ya).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Ketika mencapai titik setimbang, besar gaya total = 0, tetapi laju gerak benda bernilai maksimum (v
maks). Pada posisi ini, EK bernilai maksimum, sedangkan EP = 0. EK maksimum karena v maks,
sedangkan EP = 0, karena benda berada pada titik setimbang (x = 0).
Karena pada posisi setimbang kecepatan gerak benda maksimum, maka benda bergerak terus ke atas
sejauh -x. Laju gerak benda perlahan-lahan menurun akibat adanya gaya berat yang menarik benda ke
bawah, sedangkan besar gaya pemulih meningkat dan mencapai nilai maksimum pada jarak –x. Ketika
benda berada pada simpangan sejauh –x, EP bernilai maksimum sedangkan EK = 0. Setelah mencapai
jarak -x, gaya pemulih pegas menggerakan benda kembali lagi ke posisi setimbang (lihat gambar di
bawah). Demikian seterusnya. Benda akan bergerak ke bawah dan ke atas secara periodik. Selama
benda bergerak, selalu terjadi perubahan energi antara EP dan EK. Energi Mekanik bernilai tetap. Ketika
benda berada pada titik kesetimbangan (x = 0), EM = EK. Ketika benda berada pada simpangan sejauh –x
atau +x, EM = EP.
Energi Potensial sebuah pegas dengan konstanta gaya k yang teregang sejauh x dari kesetimbangannya
dinyatakan dengan persamaan :
EP = ½ kx2
Energi Kinetik sebuah benda bermassa m yang bergerak dengan kelajuan v ialah :
EK = ½ mv2
Energi Total (Energi Mekanik) adalah jumlah Energi Potensial dan Energi Kinetik :
EM = EP + EK = ½ kx2 + ½ mv2
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Ketika benda berada pada posisi kesetimbangan, benda memiliki kecepatan maksimum, sedangkan
besar simpangan = 0 (x = A = 0). Dengan demikian pada titik kesetimbangan, total Energi Mekanik benda
yang berosilasi pada ujung pegas adalah :
EM = EP + EK
2
2
2 1
2
EM = 1 k(0) + mv
2
2
EM = 1 mv ®persamaan 2
Ketika benda berada pada simpangan maksimum, x = A (A = Amplitudo), kecepatan benda = 0, sehingga
Energi Mekanik benda :
EM = ½ kA2
Persamaan ini memberikan sifat umum penting yang dimiliki Gerak Harmonik Sederhana (GHS) : Energi
total pada Gerak Harmonik Sederhana berbanding lurus dengan kuadrat amplitudo.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana (GHS) dan Gerak Melingkar
Beraturan (GMB)
Kita telah berkenalan dengan Gerak Harmonik Sederhana pada bagian awal pokok bahasan Getaran.
Pada kesempatan ini kita mencoba memahami secara lebih mendalam hubungan antara Gerak
Harmonik Sederhana dengan Gerak Melingkar Beraturan. Gerak Harmonik Sederhana dan Gerak
Melingkar Beraturan memiliki keterkaitan yang sederhana namun memiliki hubungan matematis yang
penting. Keterkaitan ini memberikan gambaran mengenai banyak hal dalam Gerak Harmonik Sederhana.
Tentu saja tidak ada yang berotasi dalam lingkaran ketika sebuah pegas berosilasi linear, tetapi
kesamaan matematisnya yang kita anggap penting. GuruMuda sengaja menyelipkan pokok bahasan ini
sebelum pembahasan mengenai persamaan-persamaan besaran GHS, seperti periode, frekuensi, dkk,
karena banyak persamaan tersebut akan kita turunkan dari hubungan ini. Akhirnya diriku hanya bisa
mengucapkan selamat belajar. Semoga sukses..... :)
Catatan :
Sebaiknya dipahami terlebih dahulu konsep Gerak Harmonik Sederhana dan Gerak Melingkar Beraturan
agar dirimu lebih nyambung dengan penjelasan GuruMuda….
Persamaan Posisi Benda pada Gerak Melingkar Beraturan (GMB)
Misalnya sebuah benda bergerak dengan laju tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A
sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan maka kecepatan sudutnya bernilai konstan.
Hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudut dalam Gerak Melingkar Beraturan
dinyatakan dengan persamaan :
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
r
v w =
Karena jari-jari (r) pada Gerak Melingkar Beraturan di atas adalah A, maka persamaan ini kita ubah
menjadi :
A
v w = ® v =wA ®Persamaan 1
Simpangan sudut (q ) adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r), dan
dinyatakan dengan persamaan :
q =
r
vt
r
x = ® Persamaan 2
x adalah jarak linear, v adalah kecepatan linear dan t adalah waktu tempuh (x = vt adalah persamaan
Gerak Lurus alias Gerak Linear). Sekarang kita gantikan v pada persamaan 2 dengan v pada persamaan
1 dan jari-jari r kita gantikan dengan A :
q = t
A
At
r
vt =w =w
q =wt
Dengan demikian, simpangan sudut benda relatif terhadap sumbu x dinyatakan dengan persamaan :
o q =wt +q ®persamaan 3
o q adalah simpangan sudut pada waktu t = 0
Sampai di sini dirimu sudah paham atau masih bingung-kah ? dibaca perlahan-lahan sambil dipahami
ya.... jika dirimu ngerti konsep GMB, pasti penjelasan ini dengan mudah dipahami... Ok, lanjut....
Pada gambar di atas, posisi benda pada sumbu x dinyatakan dengan persamaan :
x = Acosq ®persamaan 4
Nah, sekarang kita gantikan teta pada persamaan 4 dengan teta pada persamaan 3, sehingga
persamaan 4 berubah menjadi :
cos( ) o x = A wt +q atau
)
2
sin(
= w +q + p o x A t
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Inilah persamaan posisi benda pada sumbu x yang kita peroleh melalui analisis terhadap Gerak
Melingkar Beraturan.
Nah, bagaimana persamaan posisi benda pada sumbu y. Cermati gambar di bawah
Persamaan posisi benda pada sumbu y adalah :
sin sin( ) o y = A q = A wt +q atau
)
2
cos(
= w +q - p o y A t
A = Amplitudo, w adalah kecepatan sudut dan q o adalah simpangan
Sudut pada saat t = 0.
Sebelum kita menyimpulkan hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana dan Gerak Melingkar
Beraturan, terlebih dahulu kita turunkan persamaan posisi benda pada Gerak Harmonik Sederhana.
Persamaan Posisi Benda pada Gerak Harmonik Sederhana (GHS)
Untuk benda yang berosilasi, persamaan x sebagai fungsi waktu t dapat diperoleh melalui percobaan.
Misalnya kita gantungkan sebuah pegas pada arah vertikal dan pada bagian bawah pegas tersebut kita
gantungkan sebuah benda. Pada benda tersebut dipasang sebuah pena dan diatur sedemikian rupa
sehingga pena dapat menulis di atas secarik kertas yang dapat digerakkan tegak lurus terhadap arah
pegas yang melakukan getaran. Selanjutnya benda kita simpangkan sejauh A (amplitudo alias simpangan
terjauh). Ketika pegas kita lepaskan, kertas kita tarik ke kiri dengan laju tetap. Pena yang digantungkan
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
pada pegas yang berosilasi tersebut akan menghasilkan sebuah kurva, sebagaimana tampak pada
gambar di bawah.
A = amplitudo (simpangan terjauh), T = periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu
getaran). Persamaan kurva tersebut adalah :
cos( ) o x = A wt +q
)
2
sin(
= w +q + p o x A t
Ini adalah persamaan simpangan sebagai fungsi waktu, yang diperoleh melalui percobaan. Persamaan
ini sama dengan persamaan posisi benda pada sumbu x alias persamaan simpangan x sebagai fungsi
waktu yang kita peroleh pada Gerak Melingkar Beraturan.
Hubungan antara GHS dan GMB
Kita dapat memandang Gerak Harmonik sederhana sebagai suatu komponen Gerak Melingkar
Beraturan. Atau Gerak Melingkar Beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonik
sederhana yang saling tegak lurus, memiliki Amplitudo (A) dan frekuensi yang sama namun memiliki
beda fase relatif phi/2.
Kita dapat menyimpulkan bahwa pada suatu garis lurus, proyeksi sebuah benda yang melakukan Gerak
Melingkar Beraturan merupakan Gerak Harmonik Sederhana. Frekuensi dan Periode Gerak Melingkar
Beraturan sama dengan Frekuensi dan Periode Gerak Harmonik Sederhana yang diproyeksikan.
Sampai di sini, mudah-mudahan dirimu dapat memahami hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana
dengan Gerak Melingkar Beraturan.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Simpangan, periode, frekuensi GHS
Pada pembahasan mengenai Hubungan antara GHS dan GMB, kita telah melihat keterkaitan antara
Gerak Harmonik Sederhana dengan Gerak Melingkar Beraturan. Pada kesempatan ini, kita akan
membahas lebih jauh mengenai Periode dan Frekuensi pada Gerak Harmonik Sederhana.....
sebelumnya, mari kita pahami lebih jauh apa yang dimaksudkan dengan simpangan.
Simpangan
Yang dimaksudkan dengan simpangan pada Gerak Harmonik Sederhana adalah jarak maksimum benda
diukur dari posisi setimbang. Agar dirimu lebih memahaminya, mari kita tinjau dengan gambar.
Dua contoh Gerak Harmonik Sederhana adalah ayunan sederhana dan getaran pegas. Mari kita tinjau
simpangan pada dua contoh GHS sederhana ini.
Ayunan Sederhana
Amati gambar ayunan sederhana di bawah ini. B adalah posisi setimbang. Simpangan adalah jarak dari
posisi setimbang B ke A (B-A) atau B ke C (B-C). Amplitudo merupakan simpangan maksimum atau
simpangan terjauh ketika benda berosilasi (melakukan getaran). Apabila jarak B-A atau B-C merupakan
simpangan maksimum maka jarak B-A atau B-C adalah Amplitudo (A).
Getaran Pegas
Kita tinjau dua jenis getaran pegas, yakni pegas yang diletakan horisontal dan pegas yang diletakkan
vertikal.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Pegas yang diletakkan horisontal
Amati gambar di bawah. x = 0 adalah posisi setimbang. Pada gambar di bawah, simpangan adalah +x
(gambar 1) atau -x (gambar 2). +x atau –x disebut Amplitudo apabila itu merupakan simpangan
maksimum.
Pegas yang diletakkan vertikal
Perhatikan gambar di bawah. Pada pegas yang digantungkan vertikal, gravitasi bekerja pada benda
bermassa yang dikaitkan pada ujung pegas. Akibatnya, walaupun tidak ditarik ke bawah, pegas dengan
sendirinya meregang sejauh x0. Pada keadaan ini benda yang digantungkan pada pegas berada pada
posisi setimbang. Apabila posisi setimbang kita ukur pada xo, maka yang dimaksudkan dengan
simpangan adalah x (gambar a) dan –x (gambar b).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Periode GHS
Periode Gerak Harmonis Sederhana ternyata bergantung pada elastisitas pegas serta massa benda yang
melakukan getaran. Periode pegas tidak bergantung pada Amplitudo getaran. Dirimu dapat
membuktikan hal ini dengan melakukan percobaan. Hitunglah periode pegas atau ayunan sederhana
yang berosilasi. Variasikan simpangan (Amplitudo) pegas atau ayunan sederhana... selanjutnya
bandingkan periode getaran yang memiliki simpangan (A) besar dan simpangan (A) yang kecil. Dirimu
akan menemukan bahwa ternyata periode tidak bergantung pada Amplitudo. Kita juga dapat
membuktikan hal itu secara matematis melalui persamaan periode yang akan diturunkan nanti....
Pada pokok bahasan mengenai hubungan antara GHS dan GMB, kita telah memahami keterkaitan
antara GHS dan GMB. Jika dirimu belum, sebaiknya dipelajari terlebih dahulu daripada tersesat dan
kebingungan di sini... Kali ini kita mencoba menurunkan persamaan Periode Gerak Harmonis Sederhana
dengan membandingkan GHS dengan benda yang melakukan GMB.
Kita tinjau sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki
jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
v adalah laju linear benda, vx adalah proyeksi laju linear benda pada sumbu x. Kedua segitiga yang
memiliki sudut teta pada gambar di atas simetris. Sekarang mari kita hitung laju benda untuk komponen
x :
A
A x
v
vx
2 - 2 =
2
2
1
A
x
v v x = -
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Ini adalah persamaan laju benda yang berosilasi dengan GHS, sebagaimana yang telah kita turunkan
pada pembahasan mengenai Energi pada Gerak Harmonik Sederhana. Proyeksi ke sumbu x dari sebuah
benda yang melakukan Gerak Melingkar Beraturan memiliki gerak yang sama seperti benda berosilasi
pada ujung pegas.
Sekarang mari kita turunkan persamaan periode. Apabila benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan,
maka Kelajuan Linearnya sama dengan keliling lingkaran dibagi periode. secara matematis ditulis :
T
r
v
2p = ®karena r = A maka :
T
A
v
2p =
Kita ubah persamaan ini untuk menentukan nilai T :
v
A
T
2p =
Pada pembahasan mengenai energi pada Gerak Harmonik Sederhana, kita telah menurunkan
persamaan Hukum Kekekalan Energi pada osilasi pegas. Ketika benda berada pada simpangan
maksimum (A = amplitudo = simpangan maksimum), kecepatan benda = 0. dengan demikian, pada
simpangan maksimum, jumlah total Energi Mekanik adalah :
EM = EP + EK
2
2
2 1
2
EM = 1 kx + mv
Karena x = A dan v = 0, maka :
2
2
2 1
2
EM = 1 kA + m(0)
2
2
EM = 1 kA ®persamaan 1
Ini adalah persamaan EM benda ketika benda berada pada simpangan maksimum.
Ketika benda berada pada posisi kesetimbangan, benda memiliki kecepatan maksimum, sedangkan
besar simpangan = 0 (x = A = 0). Dengan demikian pada titik kesetimbangan, total Energi Mekanik benda
yang berosilasi pada ujung pegas adalah :
EM = EP + EK
2
2
2 1
2
EM = 1 k(0) + mv
2
2
EM = 1 mv ®persamaan 2
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Persamaan 1 dan persamaan 2 kita gabung menjadi :
1 2 EM = EM
2
2
2 1
2
1 kA = mv
k
m
k
m
v
A = =
2
1
2
1
2
2
k
m
v
A = ®persamaan 3
Kita tulis kembali persamaan Periode di atas :
v
A
T
2p =
Sekarang kita subtitusikan nilai A pada persamaan 3 ke dalam persamaan Periode :
v
k
m
v
T
=
2p
k
m
T = 2p
Hahahaha............. setelah dahi berkerut, akhirnya kita mendapatkan persamaan periode GHS :D
Berdasarkan persamaan di atas, tampak bahwa periode hanya bergantung pada massa benda (m) dan
konstanta pegas (k). Periode tidak bergantung pada amplitudo (A). Makin besar massa benda, makin
besar periode dan makin kaku pegas, makin kecil periode. Konstanta pegas adalah ukuran elastisitas
pegas. Jadi apabila pegas makin kaku maka konstanta pegas besar.
Massa benda besar berarti inersia benda besar. Dengan demikian, reaksi yang diberikan benda lebih
lambat sehingga periode makin lama. Sebaliknya, makin kaku pegas (konstanta pegas besar) maka
dibtuhkan gaya yang lebih besar (ingat hubungan F = -kx, di mana F sebanding dengan k).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Frekuensi GHS
Kita langsung menurunkan persamaannya ya..... to the point ;)
T
f
1 =
k
m
f
2p
1 =
m
k
f
2p
1 =
Ini adalah persamaan frekuensi Gerak harmonik Sederhana
Persamaan Posisi, Kecepatan dan Percepatan pada GHS
Persamaan Posisi Sebagai Fungsi Waktu Pada GHS
Kita tinjau sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki
jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
Dari gambar di atas, tampak bahwa
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Cos q =
A
x
Kita balik persamaan ini untuk menentukan nilai x :
x = Acosq ®persamaan 1
Karena benda melakukan gerak melingkar dengan kecepatan sudut omega , di mana hubungan antara
kecepatan sudut omega dan besar sudut simpangan teta dinyatakan dengan persamaan :
q =wt ®persamaan 2
Di mana teta dinyatakan dalam radian. (bandingkan dengan s = vt pada gerak lurus)
Kita subtitusikan nilai teta pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :
x = Acosq
x = Acoswt ®persamaan 3a
Ini adalah persamaan posisi sebagai fungsi waktu
Dalam hubungan dengan frekuensi, kecepatan sudut omega dapat juga dinyatakan dengan persamaan :
w = 2pf
Persamaan posisi sebagai fungsi waktu
Di mana f adalah frekuensi. (kita telah mempelajari hal ini pada Pokok Bahasan Besaran-besaran fisis
gerak melingkar beraturan)
Nah, sekarang kita subtitusikan nilai omega ke dalam persamaan 3 :
x = Acos 2pft ®persamaan 3b
Karena frekuensi dan periode memiliki keterkaitan, yang dinyatakan dengan persamaan :
T
f
1 =
Maka persamaan 3b dapat kita tulis dalam bentuk :
T
t
x A
2p
= cos ®persamaan 3c
Persamaan 3a, 3b dan 3c merupakan persamaan posisi sebagai fungsi waktu pada Gerak Harmonik
Sederhana.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Grafik posisi sebagai fungsi waktu
Posisi sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini...
Pada saat t = 0, benda berada pada simpangan sejauh +A (A alias amplitudo). Tanda positif menunjukkan
bahwa benda berada pada bagian kanan atau bagian atas titik setimbang nol.
Pada saat t = ¼ T, benda berada pada posisi setimbang (A = 0).
Pada saat t = ½ T, benda berada pada simpangan sejauh –A. Tanda negatif menunjukkan bahwa benda
berada pada bagian kiri titik acuan nol.
Pada saat t = ¾ T, benda kembali berada di posisi setimbang (A = 0). Jadi benda bergerak kembali dari
simpangan sejauh –A menuju titik setimbang.
Pada saat t = T, benda berada lagi di timpangan sejauh +A, posisi di mana benda pertama kali mulai
bergerak. Demikian deterusnya, benda bergerak bolak balik dan membentuk kurva cosinus. Posisi benda
dapat kita hitung dengan persamaan
T
t
x A
2p
= cos
Kita menggunakan persamaan ini karena gerakan benda membentuk kurva cosinus.
Pada grafik di atas, benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A sehingga gerakan benda tersebut
membentuk kurva cosinus. Apabila benda mulai bergerak dari posisi setimbang (A = 0), maka gerakan
benda tersebut membentuk kurva sinus.
Jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang (x =0) sehingga membentuk kurva sinus, bagaimana
dengan persamaan untuk menghitung posisi benda ?
Kita menggunakan persamaan :
T
t
x A 2p
= sin
Jadi jangan terpaku dengan persamaan di atas. Tergantung benda bergerak dari mana. Apabila benda
mulai bergerak dari simpangan sejauh A (amplitudo) maka kita menggunakan persamaan cosinus di atas.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
tapi jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang, kita menggunakan persamaan sinus.... bisa
dipahami ya ? dibaca kembali secara perlahan-lahan biar dirimu memahami penjelasan GuruMuda.
Sekarang kita lanjut ke persamaan kecepatan….
Persamaan Kecepatan Sebagai Fungsi Waktu Pada GHS
Sekarang mari kita tinjau persamaan kecepatan pada GHS. Kita tetap menggunakan bantuan lingkaran
acuan untuk menurunkan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu. Kita tinjau lagi sebuah benda
yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana
tampak pada gambar di bawah
v adalah laju linear benda, vx adalah proyeksi laju linear benda pada sumbu x. Kedua segitiga yang
memiliki sudut teta pada gambar di atas simetris.
Pada gambar di atas, tampak bahwa besar vx = v sin teta, di mana arah vx menuju ke kiri. Karena
kecepatan termasuk besaran vektor, maka kita tulis kembali persamaan vx menjadi :
v v sinq x = -
Karena
T
t
q =wt = 2pft = 2p
Maka persamaan vx di atas dapat ditulis menjadi :
v v t x = - sinw
v v ft x = - sin 2p
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
T
t
v v x = - sin 2p
Bagaimana dengan besar v ?
Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, maka kelajuan linearnya sama dengan keliling
lingkaran dibagi periode. Secara matematis ditulis :
T
r
v
2p = ®karena r = A maka :
T
A
v
2p = ® karena
f
T
1 = maka
v = 2pAf ®karena
m
k
f
2p
1 = maka
=
m
k
v A
p
p
2
1
2
m
k
v = A ®persamaan v
Ini adalah persamaan untuk menghitung besar v
Kecepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini...
Cara membaca grafik ini sangat gampang :) Grafik di atas mengatakan bahwa pada saat t = 0, kecepatan
benda = 0.
Pada saat t = ¼ T, kecepatan benda menjadi menjadi –v (kecepatan maksimum). Tanda negatif
menunjukkan bahwa arah kecepatan ke kiri atau ke bawah jika kita tetapkan posisi setimbang adalah 0
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
pada sumbu koordinat xy. Karena kecepatan benda bernilai negatif maka bisa dipastikan benda sedang
berada pada posisi setimbang. jadi dari grafik di atas tampak bahwa benda mulai bergerak dari
simpangan sejauh +A dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang (A = 0).
Pada saat t = ½ T kecepatan benda = 0. Benda sekarang berada pada simpangan sejauh –A. Ingat bahwa
ketika mencapai simpangan maksimum, kecepatan benda = 0 dan sekarang benda akan berbalik arah.
Pada saat t = ¾ T, benda bergerak dengan kecepatan maksimum. Dari grafik, kita tahu bahwa kecepatan
benda bernilai positif, sehingga bisa disimpulkan benda sedang bergerak ke kanan dan saat ini berada
pada posisi setimbang. sekali lagi ingat bahwa ketika berada pada posisi setimbang, benda memiliki
kecepatan maksimum.
Pada saat t = T, kecepatan benda = 0. nah, sekarang benda berada pada simpangan sejauh +A (benda
berada di sebelah kanan posisi setimbang). sekarang benda telah melakukan satu getaran lengkap.
Selanjutnya benda akan bergerak lagi ke posisi setimbang. demikian seterusnya...
Untuk menghitung kecepatan benda sepanjang kurva di atas, kita menggunakan persamaan kecepatan
sebagai fungsi waktu yang telah diturunkan di atas, yakni :
T
t
v v x = - sin 2p
Mengapa menggunakan sinus ? coba dirimu baca kembali pembahasan mengenai persamaan
simpangan... GuruMuda telah menyinggung hal tersebut..
Persamaan Percepatan Sebagai Fungsi Waktu Pada GHS
Persamaan percepatan sebagai fungsi waktu kita turunkan dari Hukum II Newton :
SF = ma
m
F
a
= S ®persamaan 1
Pada GHS, jumlah gaya total dinyatakan dengan persamaan :
SF = -kx ® persamaan 2
Kita subtitusikan besar gaya total (sigma F) pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
m
kx
a
= - ® x = Acos 2pft
m
k A ft
a
= - ( cos 2p )
ft
m
kA
a p 2 cos
= -
a a cos 2pft max = - ® persamaan 3a
t
T
a a
2p
cos max = - ® persamaan 3b
a Percepa Maksimum
m
kA
tan max = ®
Persamaan 3a dan persamaan 3b adalah persamaan percepatan sebagai fungsi waktu.
Grafik percepatan sebagai fungsi waktu
Percepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini...
Bagaimana membaca grafik ini ?
Pada saat t = 0, percepatan benda bernilai maksimum. Ingat lagi persamaan yang telah kita turunkan
tadi......
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
m
kA
amaks =
Sesuai dengan grafik di atas, percepatan benda bernilai negatif. ini berarti benda sedang bergerak ke kiri
atau ke bawah dan benda berada pada posisi setimbang.
Pada saat t = ¼ T, percepatan benda = 0. benda sekarang sedang berada pada simpangan sejauh –A.
Pada saat berada pada simpangan maksimum, kecepatan benda bernilai nol sesaat, sehingga
percepatannya juga nol. Pada posisi ini benda mulai berbalik arah menuju ke kanan.
Pada saat t = ½ T, percepatan bernilai maksimum. Tanda negatif menunjukkan bahwa arah percepatan
ke kanan. Saat ini benda sedang berada di posisi setimbang...
Pada saat t = ¾ T, percepatan bernilai nol. Benda sedang berada pada simpangan sejauh +A.
Pada saat t = T, percepatan benda kembali bernilai maksimum (percepatan benda negatif). jadi benda
sedang bergerak ke kiri dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang. pada saat t = T, benda telah
melakukan satu getaran lengkap.... demikian seterusnya....
Catatan : penurunan rumus yang bertele-tele di atas ;) hanya mau menujukkan dari mana asal rumus
tersebut. Pada akhirnya dalam setiap soal hitungan, kita menggunakan rumus final. Jadi dirimu jangan
bingung dengan rumus yang banyak di atas.... pahami saja proses penurunannya lalu sering-sering
latihan soal sehingga rumus final otomatis diingat.... Sttt... Jangan pake hafal :D
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Pendulum Sederhana
Contoh gerak osilasi (getaran) yang populer adalah gerak osilasi pendulum (bandul). Pendulum
sederhana terdiri dari seutas tali ringan dan sebuah bola kecil (bola pendulum) bermassa m yang
digantungkan pada ujung tali, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Dalam menganalisis gerakan
pendulum sederhana, gaya gesekan udara kita abaikan dan massa tali sangat kecil sehingga dapat
diabaikan relatif terhadap bola.
Gambar di atas memperlihatkan pendulum sederhana yang terdiri dari tali dengan panjang L dan bola
pendulum bermassa m. Gaya yang bekerja pada bola pendulum adalah gaya berat (w = mg) gaya
tegangan tali FT. Gaya berat memiliki komponen mg cos teta yang searah tali dan mg sin teta yang tegak
lurus tali. Pendulum berosilasi akibat adanya komponen gaya berat mg sin teta. Karena tidak ada gaya
gesekan udara, maka pendulum melakukan osilasi sepanjang busur lingkaran dengan besar amplitudo
tetap sama.
Hubungan antara panjang busur x dengan sudut teta dinyatakan dengan persamaan :
x = Lq
(ingat bahwa sudut (q ) adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r) jika
dinyatakan dalam satuan radian. Karena lintasan pendulum berupa lingkaran maka kita menggunakan
pendekatan ini untuk menentukan besar simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah
panjang tali L)
Syarat sebuah benda melakukan Gerak Harmonik Sederhana adalah apabila gaya pemulih sebanding
dengan simpangannya... Apabila gaya pemulih sebanding dengan simpangan x atau sudut teta maka
pendulum melakukan Gerak Harmonik Sederhana.
Gaya pemulih yang bekerja pada pendulum adalah –mg sin teta. Secara matematis ditulis :
F = - mg sin q
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya mempunyai arah yang berlawanan dengan simpangan sudut
teta. Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa gaya pemulih sebanding dengan sin teta, bukan dengan
teta. Karena gaya pemulih F berbanding lurus dengan sin teta bukan dengan teta, maka gerakan
tersebut bukan merupakan Gerak Harmonik Sederhana. Alasannya jika sudut teta kecil, maka panjang
busur x (x = L kali teta) hampir sama dengan panjang L sin teta (garis putus-putus pada arah horisontal).
Dengan demikian untuk sudut yang kecil, lebih baik kita menggunakan pendekatan :
sinq »q
Sehingga persamaan gaya pemulih menjadi :
F = -mg sinq » -mgq
Karena
x = Lq
L
x ®q =
Maka kita obok-obok persamaan di atas menjadi :
L
x
F = -mg
x
L
mg
F = -
Persamaan ini sesuai dengan hukum Hooke,
F = -kx
Di mana konstanta gaya efektif adalah :
L
mg
k =
Periode Pendulum Sederhana
Periode pendulum sederhana dapat kita tentukan menggunakan persamaan :
k
m
T = 2p
Konstanta gaya efektif k kita ganti dengan mg/L :
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
mg L
m
T = 2p
g
L
T = 2p ®q kecil
Ini adalah persamaan periode pendulum sederhana
Frekuensi Pendulum Sederhana
T
f
1 =
g
L
f
2p
1 =
L
g
f
2p
1 = ®q kecil
Ini adalah persamaan frekuensi pendulum sederhana
Keterangan :
T adalah periode, f adalah frekuensi, L adalah panjang tali dan g adalah percepatan gravitasi.
Berdasarkan persamaan di atas, tampak bahwa periode dan frekuensi getaran pendulum sederhana
bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi. Karena percepatan gravitasi bernilai tetap, maka
periode sepenuhnya hanya bergantung pada panjang tali (L). Dengan kata lain, periode dan frekuensi
pendulum tidak bergantung pada massa beban alias bola pendulum. Anda dapat dapat membuktikannya
dengan mendorong seorang yang gendut di atas ayunan. Bandingkan dengan seorang anak kecil yang
didorong pada ayunan yang sama.
Contoh soal 1 :
Sebuah pendulum melakukan 40 getaran dalam 20 sekon. Hitunglah periode dan frekuensi-nya...
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Panduan Jawaban :
a) Periode
Periode adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran lengkap. Karena pendulum
melakukan 40 getaran dalam 20 detik, maka satu getaran dilakukan selama 2 detik (40/20 = 2). Jadi
T = 2 detik...
b) Frekuensi
Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam satu detik. Karena satu getaran dilakukan
selama 2 detik, maka dalam satu detik pendulum melakukan setengah getaran. Kita juga
menghitungkan menggunakan persamaan di bawah :
T
f
1 =
0,5
2
1 f = = getaran.
Jadi dalam satu detik pendulum melakukan setengah getaran lengkap.
Contoh soal 2 :
a) Hitunglah panjang pendulum pada jam yang berdetak sekali tiap detik
b) Berapa periode jam dengan pendulum yang panjangnya 0,5 meter ?
Anggap saja percepatan gravitasi (g) = 10 m/s2
Panduan jawaban :
a) Panjang pendulum pada jam yang berdetak sekali tiap detik
Karena jam berdetak sekali perdetik, maka kita bisa menganggap jam melakukan satu getaran selama
satu detik (T= 1 sekon).
Untuk menentukan panjang pendulum, kita menggunakan persamaan :
g
L
T = 2p
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
(10 / )
4
(1 )
4
2
2
2
2
2
m s
sekon
g
T
L
p p
= =
(10 / )
(4)(3,14)
(1 ) 2
2
2
m s
sekon
L =
(10 / )
39,4
1 2
2
m s
s
L =
(10 / )
39,4
1 2
2
m s
s
L =
L = 0,25m
Jadi panjangnya 0,25 meter (tidak tepat 0,25 meter karena dipengaruhi oleh faktor pembulatan).
b) Periode jam dengan pendulum yang panjangnya 0,5 meter ?
10 / 2
0,25
(2)(3,14)
m s
meter
T =
T = (2)(3,14) 0,158s 2
T = 0,99 sekon
Periode getaran-nya adalah 0,99 sekon (hasilnya tidak tepat = 0,99 sekon karena dipengaruhi oleh faktor
pembulatan)
Catatan :
Dalam kenyataannya, jam pendulum tidak tepat melakukan Gerak Harmonik Sederhana (GHS) karena
adanya gaya gesekan. Setelah berayun beberapa kali, amplitudonya semakin berkurang akibat adanya
gaya gesek. Hal tersebut mempengaruhi ketepatan jam pendulum, di mana periode pendulum sedikit
bergantung pada amplitudo (simpangan maksimum). Agar amplitudo jam pendulum tetap, sehingga
periode ayunan tidak bergantung pada amplitudo, maka pada jam pendulum disertakan juga pegas
utama (pada jam besar disertakan beban pemberat) yang berfungsi untuk memberikan energi untuk
mengimbangi gaya gesekan dan mempertahankan amplitudo agar tetap konstan.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Referensi :
Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I (Terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga
Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
Getaran
Untuk SMA Kelas XI
(Modul ini telah disesuaikan dengan KTSP)
Penulis
Alexander San Lohat (San)
Saya berasal dari Waienga, Lembata – Flores Timur, Nusa Tenggara
Timur (NTT). Saat ini kuliah pada Program Studi Pendidikan Fisika
Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.
Saya mendirikan gurumuda.com, situs elearning fisika SMA (gratis).
Aktiv sebagai penulis materi pelajaran fisika SMA, mengelola
konsultasi tugas sekolah dan bimbingan belajar fisika online pada
situs saya.
Email : gurumudaweb@gmail.com
Website : gurumuda.com
Lisensi Dokumen:
Copyright © 2008-2009 GuruMuda.Com
Seluruh dokumen di GuruMuda.Com dapat digunakan dan disebarkan secara
bebas untuk tujuan bukan komersial (nonprofit), dengan syarat tidak menghapus
atau merubah atribut penulis dan pernyataan copyright yang disertakan dalam
setiap dokumen. Tidak diperbolehkan melakukan penulisan ulang, kecuali
mendapatkan ijin terlebih dahulu dari GuruMuda.Com.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Materi Pembelajaran :
Getaran
Tujuan Pembelajaran :
Kompetensi Dasar :
Menganalisis hubungan antara gaya dengan gerak getaran
Indikator :
a. Mendeskripsikan kharakteristik gerak pada getaran pegas
b. Menjelaskan hubungan antara periode getaran dengan massa beban
c. Menganalisis gaya simpangan, kecepatan dan percepatan pada gerak getaran
Tujuan pembelajaran di atas merupakan tuntutan dari Depdiknas RI dalam KTSP. Jadi dirimu harus
mencapai Kompetensi dasar dan Indikator tersebut. Kalau tidak bisa, ntar dapat nilai merah :) alias tidak
lulus. Nah, kali ini Gurumuda membimbing dirimu untuk bisa mencapai tujuan pembelajaran di atas.
Selamat Belajar ☺
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Getaran
Dalam kehidupan sehari-hari terdapat banyak benda yang bergetar. Senar gitar yang sering anda main
atau dimainkan oleh gitaris group band musik terkenal yang kadang membuat anda menjerit histeris
bahkan sampai menangis tersedu-sedu, getaran garpu tala, getaran mobil ketika mesinnya dinyalakan
atau ketika mobil mencium mobil lainnya hingga penumpangnya babak belur. Ingat juga ketika anda
tertawa terpingkal-pingkal tubuh anda juga bergetar, demikian juga rumah anda yang bergetar dasyat
hingga ambruk ketika terjadi gempa bumi. Sangat banyak contoh getaran dalam kehidupan kita,
sehingga jika disebutkan satu persatu maka tentu sangat melelahkan. Silahkan dipikirkan sendiri contoh
lainnya.
Getaran dan gelombang merupakan dua hal yang saling berkaitan. Gelombang, baik itu gelombang air
laut, gelombang gempa bumi, gelombang suara yang merambat di udara; semuanya bersumber pada
getaran. Dengan kata lain, getaran adalah penyebab adanya gelombang. Mengenai gelombang,
selengkapnya akan kita pelajari pada pokok bahasan tersendiri. Sekarang terlebih dahulu kita pelajari
pokok bahasan getaran. Semoga setelah mempelajari getaran, dirimu tidak ikut bergetar, apalagi ketika
gurumu menyajikan soal-soal hitungan yang membuat dirimu mabuk kepayang.
Gerak Harmonik Sederhana
Setiap gerak yang terjadi secara berulang dalam selang waktu yang sama disebut gerak periodik. Karena
gerak ini terjadi secara teratur maka disebut juga sebagai gerak harmonik/harmonis. Apabila suatu
partikel melakukan gerak periodik pada lintasan yang sama maka geraknya disebut gerak
osilasi/getaran. Bentuk yang sederhana dari gerak periodik adalah benda yang berosilasi pada ujung
pegas. Karenanya kita menyebutnya gerak harmonis sederhana. Banyak jenis gerak lain (osilasi dawai,
roda keseimbangan arloji, atom dalam molekul, dan sebagainya) yang mirip dengan jenis gerakan ini,
sehingga pada kesempatan ini kita akan membahasnya secara mendetail.
Dalam kehidupan sehari-hari, gerak bolak balik benda yang bergetar terjadi tidak tepat sama karena
pengaruh gaya gesekan. Ketika kita memainkan gitar, senar gitar tersebut akan berhenti bergetar
apabila kita menghentikan petikan. Demikian juga bandul yang berhenti berayun jika tidak digerakan
secara berulang. Hal ini disebabkan karena adanya gaya gesekan. Gaya gesekan menyebabkan bendabenda
tersebut berhenti berosilasi. Jenis getaran seperti ini disebut getaran harmonik teredam.
Walaupun kita tidak dapat menghindari gesekan, kita dapat meniadakan efek redaman dengan
menambahkan energi ke dalam sistem yang berosilasi untuk mengisi kembali energi yang hilang akibat
gesekan, salah satu contohnya adalah pegas dalam arloji yang sering kita pakai. Pada kesempatan ini kita
hanya membahas gerak harmonik sederhana secara mendetail, karena dalam kehidupan sehari-hari
terdapat banyak jenis gerak yang menyerupai sistem ini.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Salah satu contoh Gerak Harmonis Sederhana yang dapat dijumpai dalam kehidupan sehari-hari adalah
getaran benda pada pegas.
Gerak Harmonis Sederhana pada Pegas
Semua pegas memiliki panjang alami sebagaimana tampak pada gambar a. Ketika sebuah benda
dihubungkan ke ujung sebuah pegas, maka pegas akan meregang (bertambah panjang) sejauh y. Pegas
akan mencapai titik kesetimbangan jika tidak diberikan gaya luar (ditarik atau digoyang), sebagaimana
tampak pada gambar B. Jika beban ditarik ke bawah sejauh y1 dan dilepaskan (gambar c), benda akan
akan bergerak ke B, ke D lalu kembali ke B dan C. Gerakannya terjadi secara berulang dan periodik.
Sekarang mari kita tinjau hubungan antara gaya dan simpangan yang dialami pegas.
Kita tinjau pegas yang dipasang horisontal, di mana pada ujung pegas tersebut dikaitkan sebuah benda
bermassa m. Massa benda kita abaikan, demikian juga dengan gaya gesekan, sehingga benda meluncur
pada permukaan horisontal tanpa hambatan. Terlebih dahulu kita tetapkan arah positif ke kanan dan
arah negatif ke kiri. Setiap pegas memiliki panjang alami, jika pada pegas tersebut tidak diberikan gaya.
Pada kedaan ini, benda yang dikaitkan pada ujung pegas berada dalam posisi setimbang (lihat gambar
a). Untuk semakin memudahkan pemahaman dirimu,sebaiknya dilakukan juga percobaan.
Apabila benda ditarik ke kanan sejauh +x (pegas diregangkan), pegas akan memberikan gaya pemulih
pada benda tersebut yang arahnya ke kiri sehingga benda kembali ke posisi setimbangnya (gambar b).
Sebaliknya, jika benda ditarik ke kiri sejauh –x, pegas juga memberikan gaya pemulih untuk
mengembalikan benda tersebut ke kanan sehingga benda kembali ke posisi setimbang (gambar c).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Besar gaya pemulih F ternyata berbanding lurus dengan simpangan x dari pegas yang direntangkan atau
ditekan dari posisi setimbang (posisi setimbang ketika x = 0). Secara matematis ditulis :
F = -kx
Persamaan ini sering dikenal sebagai hukum hooke dan dicetuskan oleh paman Robert Hooke. k adalah
konstanta dan x adalah simpangan. Hukum Hooke akurat jika pegas tidak ditekan sampai kumparan
pegas bersentuhan atau diregangkan sampai batas elastisitas. Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya
pemulih alias F mempunyai arah berlawanan dengan simpangan x. Ketika kita menarik pegas ke kanan
maka x bernilai positif, tetapi arah F ke kiri (berlawanan arah dengan simpangan x). Sebaliknya jika pegas
ditekan, x berarah ke kiri (negatif), sedangkan gaya F bekerja ke kanan. Jadi gaya F selalu bekeja
berlawanan arah dengan arah simpangan x. k adalah konstanta pegas. Konstanta pegas berkaitan
dengan kaku atau lembut sebuah pegas. Semakin besar konstanta pegas (semakin kaku sebuah pegas),
semakin besar gaya yang diperlukan untuk menekan atau meregangkan pegas. Sebaliknya semakin
lembut sebuah pegas (semakin kecil konstanta pegas), semakin kecil gaya yang diperlukan untuk
meregangkan pegas. Untuk meregangkan pegas sejauh x, kita akan memberikan gaya luar pada pegas,
yang besarnya sama dengan F = +kx. Pegas dapat bergerak jika terlebih dahulu diberikan gaya luar.
Amati bahwa besarnya gaya bergantung juga pada besar x (simpangan).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Energi pada Gerak Harmonik Sederhana
Pada Gerak Harmonik Sederhana, gaya yang bekerja pada benda dan pegas tidak tetap alias selalu
berubah-ubah. Oleh karenanya, lebih mudah jika kita menggunakan pendekatan energi. Untuk menekan
atau meregangkan pegas, kita memberikan energi pada pegas tersebut. Energi yang disimpan pada
pegas yang tertekan atau teregang merupakan energi potensial. Ketika pegas yang kita tekan atau kita
regangkan dilepaskan, maka energi potensial pegas berubah menjadi energi kinetik. Demikian juga pada
ayunan sederhana. Ketika benda yang digantungkan pada seutas tali kita simpangkan sampai jarak
tertentu dari posisi setimbangnya, pada benda tersebut terdapat Energi Potensial. Jika ayunan
dilepaskan sehingga benda bergerak, Energi Potensial akan berubah menjadi energi kinetik. Jadi benda
yang bergerak harmonik memiliki energi potensial dan energi kinetik. Jumlah total energi potensial dan
energi kinetik adalah energi mekanik. Sekarang mari kita tinjau energi pada pegas dan ayunan
sederhana.
Energi Potensial pada Pegas
Untuk menghitung energi potensial pada pegas, terlebih dahulu kita hitung kerja alias usaha yang
dibutuhkan untuk meregangkan pegas.
Persamaan Usaha adalah W = F s, di mana F adalah gaya dan s adalah perpindahan. Pada pegas,
perpindahan adalah simpangan x. Ketika kita menekan atau meregangkan pegas sejauh x, dibutuhkan
gaya Fa yang berbanding lurus dengan x. Secara matematis ditulis Fa = kx. Ketika ditekan atau
diregangkan, pegas memberikan gaya dengan arah berlawanan (Fb) yang besarnya adalah Fb = -kx.
Untuk menghitung energi potensial dari pegas yang tertekan atau teregang, terlebih dahulu kita hitung
usaha atau kerja yang dibutuhkan untuk merentangkannya. Kita tidak bisa menggunakan persamaan
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
usaha W = Fx, karena gaya Fa baik ketika pegas diregangkan maupun ditekan selalu berubah-ubah
sepanjang x. (amati gambar di atas). Oleh karena itu kita menggunakan gaya rata-rata. Gaya Fa berubah
dari 0 ketika x=0 sampai bernilai kx ketika pegas diregangkan atau ditekan sejauh x.
Gaya rata-rata = F = ½ (0 + kx) = ½ kx. x adalah jarak maksimum pegas yang diregangkan atau ditekan.
Usaha alias kerja yang dilakukan adalah :
W = Fa x = (1/2 kx) (x) = ½ kx2
Dengan demikian, nilai Energi Potensial elastis adalah :
EP elastis = ½ kx2
Energi Kinetik pada Pegas
Perlu anda ketahui bahwa Energi Potensial tidak mempunyai suatu persamaan umum yang mewakili
semua jenis gerakan. Untuk EP elastis telah kita turunkan pada pembahasan di atas. Berbeda dengan
EP, persamaan EK bersifat umum untuk semua jenis gerakan. Energi Kinetik dimiliki benda ketika
bergerak.
Besar energi kinetik adalah :
EK = ½ mv2
m adalah massa benda dan v adalah kecepatan gerak benda.
Jumlah total Energi Kinetik dan Energi Potensial dari pegas adalah Energi Mekanik. Energi tersebut
bernilai tetap alias kekal. Secara matematis ditulis :
EM = EP + EK
Sekarang, mari kita tinjau lebih mendalam hukum kekekalan energi mekanik pada pegas. Getaran pegas
terdiri dari dua jenis, yakni getaran pegas yang diletakan secara horisontal dan getaran pegas yang
digantungkan secara vertikal.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Hukum kekekalan energi mekanik pada pegas
Pegas yang diletakan horisontal
Misalnya kita letakan sebuah pegas di atas permukaan meja. Salah satu ujung pegas telah diikat pada
dinding, sehingga pegas tidak bergeser ketika digerakan. Anggap saja permukaan meja sangat licin dan
pegas yang kita gunakan adalah pegas ideal sehingga memenuhi hukum Hooke. Sekarang kita kaitkan
sebuah benda pada salah satu ujung pegas.
Jika benda kita tarik ke kanan sehingga pegas teregang sejauh x, maka pada benda bekerja gaya pemulih
pegas, yang arahnya berlawanan dengan arah tarikan kita. Ketika benda berada pada simpangan x, EP
benda maksimum sedangkan EK benda nol (benda masih diam).
Ketika benda kita lepaskan, gaya pemulih pegas menggerakan benda ke kiri, kembali ke posisi
setimbangnya. EP benda menjadi berkurang dan menjadi nol ketika benda berada pada posisi
setimbangnya. Selama bergerak menuju posisi setimbang, EP berubah menjadi EK. Ketika benda tepat
berada pada posisi setimbang (x = 0), gaya pemulih pegas bernilai nol tetapi pada titik ini kecepatan
benda maksimum. Karena kecepatannya maksimum, maka ketika berada pada posisi setimbang, EK
bernilai maksimum.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Benda masih terus bergerak ke kiri karena ketika berada pada posisi setimbang karena benda memiliki
kecepatan yang bernilai maksimum. Ketika bergerak ke kiri, Gaya pemulih pegas menarik benda kembali
ke posisi setimbang, sehingga benda berhenti sesaat pada simpangan sejauh –x dan bergerak kembali
menuju posisi setimbang. Ketika benda berada pada simpangan sejauh –x, EK benda = 0 karena
kecepatan benda = 0. pada posisi ini EP bernilai maksimum.
Pada penjelasan di atas, tampak bahwa ketika bergerak dari posisi setimbang menuju ke kiri sejauh x = -
A (A = amplitudo/simpangan terjauh), kecepatan benda menjadi berkurang dan bernilai nol ketika benda
tepat berada pada x = -A. Karena kecepatan benda berkurang, maka EK benda juga berkurang dan
bernilai nol ketika benda berada pada x = -A. Akibat adanya gaya pemulih pegas yang menarik benda
kembali ke kanan (menuju posisi setimbang), benda memperoleh kecepatan dan Energi Kinetiknya lagi.
EK benda bernilai maksimum ketika benda tepat berada pada x = 0, karena laju gerak benda pada posisi
tersebut bernilai maksimum. Proses perubahan energi antara EK dan EP berlangsung terus menerus
selama benda bergerak bolak balik. Total EP dan EK selama benda bergetar besarnya tetap alias kekal
bin konstan.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Pegas yang diletakkan vertikal
Pada dasarnya osilasi alias getaran dari pegas yang digantungkan secara vertikal sama dengan getaran
pegas yang diletakan horisontal. Bedanya, pegas yang digantungkan secara vertikal lebih panjang karena
pengaruh gravitasi yang bekerja pada benda (gravitasi hanya bekerja pada arah vertikal, tidak pada
arah horisontal). Mari kita tinjau lebih jauh Kekekalan Energi Mekanik pada pegas yang digantungkan
secara vertikal...
Pada pegas yang kita letakan horisontal (mendatar), posisi benda disesuaikan dengan panjang pegas
alami. Pegas akan meregang atau mengerut jika diberikan gaya luar (ditarik atau ditekan). Nah, pada
pegas yang digantungkan vertikal, gravitasi bekerja pada benda bermassa yang dikaitkan pada ujung
pegas. Akibatnya, walaupun tidak ditarik ke bawah, pegas dengan sendirinya meregang sejauh x0. Pada
keadaan ini benda yang digantungkan pada pegas berada pada posisi setimbang.
Berdasarkan hukum II Newton, benda berada dalam keadaan setimbang jika gaya total = 0. Gaya yang
bekerja pada benda yang digantung adalah gaya pegas (F0 = -kx0) yang arahnya ke atas dan gaya berat (w
= mg) yang arahnya ke bawah. Total kedua gaya ini sama dengan nol. Mari kita analisis secara
matematis...
F mg kx F mg o o Σ = - = 0 ® =
Gurumuda tetap menggunakan lambang x agar anda bisa membandingkan dengan pegas yang diletakan
horisontal. Dirimu dapat menggantikan x dengan y. Resultan gaya yang bekerja pada titik kesetimbangan
= 0. Hal ini berarti benda diam alias tidak bergerak.
Jika kita meregangkan pegas (menarik pegas ke bawah) sejauh x, maka pada keadaan ini bekerja gaya
pegas yang nilainya lebih besar dari pada gaya berat, sehingga benda tidak lagi berada pada keadaan
setimbang (perhatikan gambar c di bawah).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Total kedua gaya ini tidak sama dengan nol karena terdapat pertambahan jarak sejauh x; sehingga gaya
pegas bernilai lebih besar dari gaya berat. Ketika benda kita diamkan sesaat (belum dilepaskan), EP
benda bernilai maksimum sedangkan EK = 0. EP maksimum karena benda berada pada simpangan
sejauh x. EK = 0 karena benda masih diam.
Karena terdapat gaya pegas (gaya pemulih) yang berarah ke atas maka benda akan bergerak ke atas
menuju titik setimbang. (sambil lihat gambar c di bawah ya).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Ketika mencapai titik setimbang, besar gaya total = 0, tetapi laju gerak benda bernilai maksimum (v
maks). Pada posisi ini, EK bernilai maksimum, sedangkan EP = 0. EK maksimum karena v maks,
sedangkan EP = 0, karena benda berada pada titik setimbang (x = 0).
Karena pada posisi setimbang kecepatan gerak benda maksimum, maka benda bergerak terus ke atas
sejauh -x. Laju gerak benda perlahan-lahan menurun akibat adanya gaya berat yang menarik benda ke
bawah, sedangkan besar gaya pemulih meningkat dan mencapai nilai maksimum pada jarak –x. Ketika
benda berada pada simpangan sejauh –x, EP bernilai maksimum sedangkan EK = 0. Setelah mencapai
jarak -x, gaya pemulih pegas menggerakan benda kembali lagi ke posisi setimbang (lihat gambar di
bawah). Demikian seterusnya. Benda akan bergerak ke bawah dan ke atas secara periodik. Selama
benda bergerak, selalu terjadi perubahan energi antara EP dan EK. Energi Mekanik bernilai tetap. Ketika
benda berada pada titik kesetimbangan (x = 0), EM = EK. Ketika benda berada pada simpangan sejauh –x
atau +x, EM = EP.
Energi Potensial sebuah pegas dengan konstanta gaya k yang teregang sejauh x dari kesetimbangannya
dinyatakan dengan persamaan :
EP = ½ kx2
Energi Kinetik sebuah benda bermassa m yang bergerak dengan kelajuan v ialah :
EK = ½ mv2
Energi Total (Energi Mekanik) adalah jumlah Energi Potensial dan Energi Kinetik :
EM = EP + EK = ½ kx2 + ½ mv2
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Ketika benda berada pada posisi kesetimbangan, benda memiliki kecepatan maksimum, sedangkan
besar simpangan = 0 (x = A = 0). Dengan demikian pada titik kesetimbangan, total Energi Mekanik benda
yang berosilasi pada ujung pegas adalah :
EM = EP + EK
2
2
2 1
2
EM = 1 k(0) + mv
2
2
EM = 1 mv ®persamaan 2
Ketika benda berada pada simpangan maksimum, x = A (A = Amplitudo), kecepatan benda = 0, sehingga
Energi Mekanik benda :
EM = ½ kA2
Persamaan ini memberikan sifat umum penting yang dimiliki Gerak Harmonik Sederhana (GHS) : Energi
total pada Gerak Harmonik Sederhana berbanding lurus dengan kuadrat amplitudo.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana (GHS) dan Gerak Melingkar
Beraturan (GMB)
Kita telah berkenalan dengan Gerak Harmonik Sederhana pada bagian awal pokok bahasan Getaran.
Pada kesempatan ini kita mencoba memahami secara lebih mendalam hubungan antara Gerak
Harmonik Sederhana dengan Gerak Melingkar Beraturan. Gerak Harmonik Sederhana dan Gerak
Melingkar Beraturan memiliki keterkaitan yang sederhana namun memiliki hubungan matematis yang
penting. Keterkaitan ini memberikan gambaran mengenai banyak hal dalam Gerak Harmonik Sederhana.
Tentu saja tidak ada yang berotasi dalam lingkaran ketika sebuah pegas berosilasi linear, tetapi
kesamaan matematisnya yang kita anggap penting. GuruMuda sengaja menyelipkan pokok bahasan ini
sebelum pembahasan mengenai persamaan-persamaan besaran GHS, seperti periode, frekuensi, dkk,
karena banyak persamaan tersebut akan kita turunkan dari hubungan ini. Akhirnya diriku hanya bisa
mengucapkan selamat belajar. Semoga sukses..... :)
Catatan :
Sebaiknya dipahami terlebih dahulu konsep Gerak Harmonik Sederhana dan Gerak Melingkar Beraturan
agar dirimu lebih nyambung dengan penjelasan GuruMuda….
Persamaan Posisi Benda pada Gerak Melingkar Beraturan (GMB)
Misalnya sebuah benda bergerak dengan laju tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A
sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan maka kecepatan sudutnya bernilai konstan.
Hubungan antara kecepatan linear dengan kecepatan sudut dalam Gerak Melingkar Beraturan
dinyatakan dengan persamaan :
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
r
v w =
Karena jari-jari (r) pada Gerak Melingkar Beraturan di atas adalah A, maka persamaan ini kita ubah
menjadi :
A
v w = ® v =wA ®Persamaan 1
Simpangan sudut (q ) adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r), dan
dinyatakan dengan persamaan :
q =
r
vt
r
x = ® Persamaan 2
x adalah jarak linear, v adalah kecepatan linear dan t adalah waktu tempuh (x = vt adalah persamaan
Gerak Lurus alias Gerak Linear). Sekarang kita gantikan v pada persamaan 2 dengan v pada persamaan
1 dan jari-jari r kita gantikan dengan A :
q = t
A
At
r
vt =w =w
q =wt
Dengan demikian, simpangan sudut benda relatif terhadap sumbu x dinyatakan dengan persamaan :
o q =wt +q ®persamaan 3
o q adalah simpangan sudut pada waktu t = 0
Sampai di sini dirimu sudah paham atau masih bingung-kah ? dibaca perlahan-lahan sambil dipahami
ya.... jika dirimu ngerti konsep GMB, pasti penjelasan ini dengan mudah dipahami... Ok, lanjut....
Pada gambar di atas, posisi benda pada sumbu x dinyatakan dengan persamaan :
x = Acosq ®persamaan 4
Nah, sekarang kita gantikan teta pada persamaan 4 dengan teta pada persamaan 3, sehingga
persamaan 4 berubah menjadi :
cos( ) o x = A wt +q atau
)
2
sin(
= w +q + p o x A t
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Inilah persamaan posisi benda pada sumbu x yang kita peroleh melalui analisis terhadap Gerak
Melingkar Beraturan.
Nah, bagaimana persamaan posisi benda pada sumbu y. Cermati gambar di bawah
Persamaan posisi benda pada sumbu y adalah :
sin sin( ) o y = A q = A wt +q atau
)
2
cos(
= w +q - p o y A t
A = Amplitudo, w adalah kecepatan sudut dan q o adalah simpangan
Sudut pada saat t = 0.
Sebelum kita menyimpulkan hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana dan Gerak Melingkar
Beraturan, terlebih dahulu kita turunkan persamaan posisi benda pada Gerak Harmonik Sederhana.
Persamaan Posisi Benda pada Gerak Harmonik Sederhana (GHS)
Untuk benda yang berosilasi, persamaan x sebagai fungsi waktu t dapat diperoleh melalui percobaan.
Misalnya kita gantungkan sebuah pegas pada arah vertikal dan pada bagian bawah pegas tersebut kita
gantungkan sebuah benda. Pada benda tersebut dipasang sebuah pena dan diatur sedemikian rupa
sehingga pena dapat menulis di atas secarik kertas yang dapat digerakkan tegak lurus terhadap arah
pegas yang melakukan getaran. Selanjutnya benda kita simpangkan sejauh A (amplitudo alias simpangan
terjauh). Ketika pegas kita lepaskan, kertas kita tarik ke kiri dengan laju tetap. Pena yang digantungkan
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
pada pegas yang berosilasi tersebut akan menghasilkan sebuah kurva, sebagaimana tampak pada
gambar di bawah.
A = amplitudo (simpangan terjauh), T = periode (waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu
getaran). Persamaan kurva tersebut adalah :
cos( ) o x = A wt +q
)
2
sin(
= w +q + p o x A t
Ini adalah persamaan simpangan sebagai fungsi waktu, yang diperoleh melalui percobaan. Persamaan
ini sama dengan persamaan posisi benda pada sumbu x alias persamaan simpangan x sebagai fungsi
waktu yang kita peroleh pada Gerak Melingkar Beraturan.
Hubungan antara GHS dan GMB
Kita dapat memandang Gerak Harmonik sederhana sebagai suatu komponen Gerak Melingkar
Beraturan. Atau Gerak Melingkar Beraturan dapat dipandang sebagai gabungan dua gerak harmonik
sederhana yang saling tegak lurus, memiliki Amplitudo (A) dan frekuensi yang sama namun memiliki
beda fase relatif phi/2.
Kita dapat menyimpulkan bahwa pada suatu garis lurus, proyeksi sebuah benda yang melakukan Gerak
Melingkar Beraturan merupakan Gerak Harmonik Sederhana. Frekuensi dan Periode Gerak Melingkar
Beraturan sama dengan Frekuensi dan Periode Gerak Harmonik Sederhana yang diproyeksikan.
Sampai di sini, mudah-mudahan dirimu dapat memahami hubungan antara Gerak Harmonik Sederhana
dengan Gerak Melingkar Beraturan.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Simpangan, periode, frekuensi GHS
Pada pembahasan mengenai Hubungan antara GHS dan GMB, kita telah melihat keterkaitan antara
Gerak Harmonik Sederhana dengan Gerak Melingkar Beraturan. Pada kesempatan ini, kita akan
membahas lebih jauh mengenai Periode dan Frekuensi pada Gerak Harmonik Sederhana.....
sebelumnya, mari kita pahami lebih jauh apa yang dimaksudkan dengan simpangan.
Simpangan
Yang dimaksudkan dengan simpangan pada Gerak Harmonik Sederhana adalah jarak maksimum benda
diukur dari posisi setimbang. Agar dirimu lebih memahaminya, mari kita tinjau dengan gambar.
Dua contoh Gerak Harmonik Sederhana adalah ayunan sederhana dan getaran pegas. Mari kita tinjau
simpangan pada dua contoh GHS sederhana ini.
Ayunan Sederhana
Amati gambar ayunan sederhana di bawah ini. B adalah posisi setimbang. Simpangan adalah jarak dari
posisi setimbang B ke A (B-A) atau B ke C (B-C). Amplitudo merupakan simpangan maksimum atau
simpangan terjauh ketika benda berosilasi (melakukan getaran). Apabila jarak B-A atau B-C merupakan
simpangan maksimum maka jarak B-A atau B-C adalah Amplitudo (A).
Getaran Pegas
Kita tinjau dua jenis getaran pegas, yakni pegas yang diletakan horisontal dan pegas yang diletakkan
vertikal.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Pegas yang diletakkan horisontal
Amati gambar di bawah. x = 0 adalah posisi setimbang. Pada gambar di bawah, simpangan adalah +x
(gambar 1) atau -x (gambar 2). +x atau –x disebut Amplitudo apabila itu merupakan simpangan
maksimum.
Pegas yang diletakkan vertikal
Perhatikan gambar di bawah. Pada pegas yang digantungkan vertikal, gravitasi bekerja pada benda
bermassa yang dikaitkan pada ujung pegas. Akibatnya, walaupun tidak ditarik ke bawah, pegas dengan
sendirinya meregang sejauh x0. Pada keadaan ini benda yang digantungkan pada pegas berada pada
posisi setimbang. Apabila posisi setimbang kita ukur pada xo, maka yang dimaksudkan dengan
simpangan adalah x (gambar a) dan –x (gambar b).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Periode GHS
Periode Gerak Harmonis Sederhana ternyata bergantung pada elastisitas pegas serta massa benda yang
melakukan getaran. Periode pegas tidak bergantung pada Amplitudo getaran. Dirimu dapat
membuktikan hal ini dengan melakukan percobaan. Hitunglah periode pegas atau ayunan sederhana
yang berosilasi. Variasikan simpangan (Amplitudo) pegas atau ayunan sederhana... selanjutnya
bandingkan periode getaran yang memiliki simpangan (A) besar dan simpangan (A) yang kecil. Dirimu
akan menemukan bahwa ternyata periode tidak bergantung pada Amplitudo. Kita juga dapat
membuktikan hal itu secara matematis melalui persamaan periode yang akan diturunkan nanti....
Pada pokok bahasan mengenai hubungan antara GHS dan GMB, kita telah memahami keterkaitan
antara GHS dan GMB. Jika dirimu belum, sebaiknya dipelajari terlebih dahulu daripada tersesat dan
kebingungan di sini... Kali ini kita mencoba menurunkan persamaan Periode Gerak Harmonis Sederhana
dengan membandingkan GHS dengan benda yang melakukan GMB.
Kita tinjau sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki
jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
v adalah laju linear benda, vx adalah proyeksi laju linear benda pada sumbu x. Kedua segitiga yang
memiliki sudut teta pada gambar di atas simetris. Sekarang mari kita hitung laju benda untuk komponen
x :
A
A x
v
vx
2 - 2 =
2
2
1
A
x
v v x = -
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Ini adalah persamaan laju benda yang berosilasi dengan GHS, sebagaimana yang telah kita turunkan
pada pembahasan mengenai Energi pada Gerak Harmonik Sederhana. Proyeksi ke sumbu x dari sebuah
benda yang melakukan Gerak Melingkar Beraturan memiliki gerak yang sama seperti benda berosilasi
pada ujung pegas.
Sekarang mari kita turunkan persamaan periode. Apabila benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan,
maka Kelajuan Linearnya sama dengan keliling lingkaran dibagi periode. secara matematis ditulis :
T
r
v
2p = ®karena r = A maka :
T
A
v
2p =
Kita ubah persamaan ini untuk menentukan nilai T :
v
A
T
2p =
Pada pembahasan mengenai energi pada Gerak Harmonik Sederhana, kita telah menurunkan
persamaan Hukum Kekekalan Energi pada osilasi pegas. Ketika benda berada pada simpangan
maksimum (A = amplitudo = simpangan maksimum), kecepatan benda = 0. dengan demikian, pada
simpangan maksimum, jumlah total Energi Mekanik adalah :
EM = EP + EK
2
2
2 1
2
EM = 1 kx + mv
Karena x = A dan v = 0, maka :
2
2
2 1
2
EM = 1 kA + m(0)
2
2
EM = 1 kA ®persamaan 1
Ini adalah persamaan EM benda ketika benda berada pada simpangan maksimum.
Ketika benda berada pada posisi kesetimbangan, benda memiliki kecepatan maksimum, sedangkan
besar simpangan = 0 (x = A = 0). Dengan demikian pada titik kesetimbangan, total Energi Mekanik benda
yang berosilasi pada ujung pegas adalah :
EM = EP + EK
2
2
2 1
2
EM = 1 k(0) + mv
2
2
EM = 1 mv ®persamaan 2
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Persamaan 1 dan persamaan 2 kita gabung menjadi :
1 2 EM = EM
2
2
2 1
2
1 kA = mv
k
m
k
m
v
A = =
2
1
2
1
2
2
k
m
v
A = ®persamaan 3
Kita tulis kembali persamaan Periode di atas :
v
A
T
2p =
Sekarang kita subtitusikan nilai A pada persamaan 3 ke dalam persamaan Periode :
v
k
m
v
T
=
2p
k
m
T = 2p
Hahahaha............. setelah dahi berkerut, akhirnya kita mendapatkan persamaan periode GHS :D
Berdasarkan persamaan di atas, tampak bahwa periode hanya bergantung pada massa benda (m) dan
konstanta pegas (k). Periode tidak bergantung pada amplitudo (A). Makin besar massa benda, makin
besar periode dan makin kaku pegas, makin kecil periode. Konstanta pegas adalah ukuran elastisitas
pegas. Jadi apabila pegas makin kaku maka konstanta pegas besar.
Massa benda besar berarti inersia benda besar. Dengan demikian, reaksi yang diberikan benda lebih
lambat sehingga periode makin lama. Sebaliknya, makin kaku pegas (konstanta pegas besar) maka
dibtuhkan gaya yang lebih besar (ingat hubungan F = -kx, di mana F sebanding dengan k).
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Frekuensi GHS
Kita langsung menurunkan persamaannya ya..... to the point ;)
T
f
1 =
k
m
f
2p
1 =
m
k
f
2p
1 =
Ini adalah persamaan frekuensi Gerak harmonik Sederhana
Persamaan Posisi, Kecepatan dan Percepatan pada GHS
Persamaan Posisi Sebagai Fungsi Waktu Pada GHS
Kita tinjau sebuah benda yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki
jari-jari A sebagaimana tampak pada gambar di bawah.
Dari gambar di atas, tampak bahwa
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Cos q =
A
x
Kita balik persamaan ini untuk menentukan nilai x :
x = Acosq ®persamaan 1
Karena benda melakukan gerak melingkar dengan kecepatan sudut omega , di mana hubungan antara
kecepatan sudut omega dan besar sudut simpangan teta dinyatakan dengan persamaan :
q =wt ®persamaan 2
Di mana teta dinyatakan dalam radian. (bandingkan dengan s = vt pada gerak lurus)
Kita subtitusikan nilai teta pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :
x = Acosq
x = Acoswt ®persamaan 3a
Ini adalah persamaan posisi sebagai fungsi waktu
Dalam hubungan dengan frekuensi, kecepatan sudut omega dapat juga dinyatakan dengan persamaan :
w = 2pf
Persamaan posisi sebagai fungsi waktu
Di mana f adalah frekuensi. (kita telah mempelajari hal ini pada Pokok Bahasan Besaran-besaran fisis
gerak melingkar beraturan)
Nah, sekarang kita subtitusikan nilai omega ke dalam persamaan 3 :
x = Acos 2pft ®persamaan 3b
Karena frekuensi dan periode memiliki keterkaitan, yang dinyatakan dengan persamaan :
T
f
1 =
Maka persamaan 3b dapat kita tulis dalam bentuk :
T
t
x A
2p
= cos ®persamaan 3c
Persamaan 3a, 3b dan 3c merupakan persamaan posisi sebagai fungsi waktu pada Gerak Harmonik
Sederhana.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Grafik posisi sebagai fungsi waktu
Posisi sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini...
Pada saat t = 0, benda berada pada simpangan sejauh +A (A alias amplitudo). Tanda positif menunjukkan
bahwa benda berada pada bagian kanan atau bagian atas titik setimbang nol.
Pada saat t = ¼ T, benda berada pada posisi setimbang (A = 0).
Pada saat t = ½ T, benda berada pada simpangan sejauh –A. Tanda negatif menunjukkan bahwa benda
berada pada bagian kiri titik acuan nol.
Pada saat t = ¾ T, benda kembali berada di posisi setimbang (A = 0). Jadi benda bergerak kembali dari
simpangan sejauh –A menuju titik setimbang.
Pada saat t = T, benda berada lagi di timpangan sejauh +A, posisi di mana benda pertama kali mulai
bergerak. Demikian deterusnya, benda bergerak bolak balik dan membentuk kurva cosinus. Posisi benda
dapat kita hitung dengan persamaan
T
t
x A
2p
= cos
Kita menggunakan persamaan ini karena gerakan benda membentuk kurva cosinus.
Pada grafik di atas, benda mulai bergerak dari simpangan sejauh +A sehingga gerakan benda tersebut
membentuk kurva cosinus. Apabila benda mulai bergerak dari posisi setimbang (A = 0), maka gerakan
benda tersebut membentuk kurva sinus.
Jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang (x =0) sehingga membentuk kurva sinus, bagaimana
dengan persamaan untuk menghitung posisi benda ?
Kita menggunakan persamaan :
T
t
x A 2p
= sin
Jadi jangan terpaku dengan persamaan di atas. Tergantung benda bergerak dari mana. Apabila benda
mulai bergerak dari simpangan sejauh A (amplitudo) maka kita menggunakan persamaan cosinus di atas.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
tapi jika benda mulai bergerak dari posisi setimbang, kita menggunakan persamaan sinus.... bisa
dipahami ya ? dibaca kembali secara perlahan-lahan biar dirimu memahami penjelasan GuruMuda.
Sekarang kita lanjut ke persamaan kecepatan….
Persamaan Kecepatan Sebagai Fungsi Waktu Pada GHS
Sekarang mari kita tinjau persamaan kecepatan pada GHS. Kita tetap menggunakan bantuan lingkaran
acuan untuk menurunkan persamaan kecepatan sebagai fungsi waktu. Kita tinjau lagi sebuah benda
yang bergerak dengan laju linear tetap (v) pada sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari A sebagaimana
tampak pada gambar di bawah
v adalah laju linear benda, vx adalah proyeksi laju linear benda pada sumbu x. Kedua segitiga yang
memiliki sudut teta pada gambar di atas simetris.
Pada gambar di atas, tampak bahwa besar vx = v sin teta, di mana arah vx menuju ke kiri. Karena
kecepatan termasuk besaran vektor, maka kita tulis kembali persamaan vx menjadi :
v v sinq x = -
Karena
T
t
q =wt = 2pft = 2p
Maka persamaan vx di atas dapat ditulis menjadi :
v v t x = - sinw
v v ft x = - sin 2p
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
T
t
v v x = - sin 2p
Bagaimana dengan besar v ?
Karena benda melakukan Gerak Melingkar Beraturan, maka kelajuan linearnya sama dengan keliling
lingkaran dibagi periode. Secara matematis ditulis :
T
r
v
2p = ®karena r = A maka :
T
A
v
2p = ® karena
f
T
1 = maka
v = 2pAf ®karena
m
k
f
2p
1 = maka
=
m
k
v A
p
p
2
1
2
m
k
v = A ®persamaan v
Ini adalah persamaan untuk menghitung besar v
Kecepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini...
Cara membaca grafik ini sangat gampang :) Grafik di atas mengatakan bahwa pada saat t = 0, kecepatan
benda = 0.
Pada saat t = ¼ T, kecepatan benda menjadi menjadi –v (kecepatan maksimum). Tanda negatif
menunjukkan bahwa arah kecepatan ke kiri atau ke bawah jika kita tetapkan posisi setimbang adalah 0
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
pada sumbu koordinat xy. Karena kecepatan benda bernilai negatif maka bisa dipastikan benda sedang
berada pada posisi setimbang. jadi dari grafik di atas tampak bahwa benda mulai bergerak dari
simpangan sejauh +A dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang (A = 0).
Pada saat t = ½ T kecepatan benda = 0. Benda sekarang berada pada simpangan sejauh –A. Ingat bahwa
ketika mencapai simpangan maksimum, kecepatan benda = 0 dan sekarang benda akan berbalik arah.
Pada saat t = ¾ T, benda bergerak dengan kecepatan maksimum. Dari grafik, kita tahu bahwa kecepatan
benda bernilai positif, sehingga bisa disimpulkan benda sedang bergerak ke kanan dan saat ini berada
pada posisi setimbang. sekali lagi ingat bahwa ketika berada pada posisi setimbang, benda memiliki
kecepatan maksimum.
Pada saat t = T, kecepatan benda = 0. nah, sekarang benda berada pada simpangan sejauh +A (benda
berada di sebelah kanan posisi setimbang). sekarang benda telah melakukan satu getaran lengkap.
Selanjutnya benda akan bergerak lagi ke posisi setimbang. demikian seterusnya...
Untuk menghitung kecepatan benda sepanjang kurva di atas, kita menggunakan persamaan kecepatan
sebagai fungsi waktu yang telah diturunkan di atas, yakni :
T
t
v v x = - sin 2p
Mengapa menggunakan sinus ? coba dirimu baca kembali pembahasan mengenai persamaan
simpangan... GuruMuda telah menyinggung hal tersebut..
Persamaan Percepatan Sebagai Fungsi Waktu Pada GHS
Persamaan percepatan sebagai fungsi waktu kita turunkan dari Hukum II Newton :
SF = ma
m
F
a
= S ®persamaan 1
Pada GHS, jumlah gaya total dinyatakan dengan persamaan :
SF = -kx ® persamaan 2
Kita subtitusikan besar gaya total (sigma F) pada persamaan 2 ke dalam persamaan 1 :
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
m
kx
a
= - ® x = Acos 2pft
m
k A ft
a
= - ( cos 2p )
ft
m
kA
a p 2 cos
= -
a a cos 2pft max = - ® persamaan 3a
t
T
a a
2p
cos max = - ® persamaan 3b
a Percepa Maksimum
m
kA
tan max = ®
Persamaan 3a dan persamaan 3b adalah persamaan percepatan sebagai fungsi waktu.
Grafik percepatan sebagai fungsi waktu
Percepatan sebagai fungsi waktu digambarkan dengan grafik di bawah ini...
Bagaimana membaca grafik ini ?
Pada saat t = 0, percepatan benda bernilai maksimum. Ingat lagi persamaan yang telah kita turunkan
tadi......
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
m
kA
amaks =
Sesuai dengan grafik di atas, percepatan benda bernilai negatif. ini berarti benda sedang bergerak ke kiri
atau ke bawah dan benda berada pada posisi setimbang.
Pada saat t = ¼ T, percepatan benda = 0. benda sekarang sedang berada pada simpangan sejauh –A.
Pada saat berada pada simpangan maksimum, kecepatan benda bernilai nol sesaat, sehingga
percepatannya juga nol. Pada posisi ini benda mulai berbalik arah menuju ke kanan.
Pada saat t = ½ T, percepatan bernilai maksimum. Tanda negatif menunjukkan bahwa arah percepatan
ke kanan. Saat ini benda sedang berada di posisi setimbang...
Pada saat t = ¾ T, percepatan bernilai nol. Benda sedang berada pada simpangan sejauh +A.
Pada saat t = T, percepatan benda kembali bernilai maksimum (percepatan benda negatif). jadi benda
sedang bergerak ke kiri dan saat ini sedang berada pada posisi setimbang. pada saat t = T, benda telah
melakukan satu getaran lengkap.... demikian seterusnya....
Catatan : penurunan rumus yang bertele-tele di atas ;) hanya mau menujukkan dari mana asal rumus
tersebut. Pada akhirnya dalam setiap soal hitungan, kita menggunakan rumus final. Jadi dirimu jangan
bingung dengan rumus yang banyak di atas.... pahami saja proses penurunannya lalu sering-sering
latihan soal sehingga rumus final otomatis diingat.... Sttt... Jangan pake hafal :D
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Pendulum Sederhana
Contoh gerak osilasi (getaran) yang populer adalah gerak osilasi pendulum (bandul). Pendulum
sederhana terdiri dari seutas tali ringan dan sebuah bola kecil (bola pendulum) bermassa m yang
digantungkan pada ujung tali, sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Dalam menganalisis gerakan
pendulum sederhana, gaya gesekan udara kita abaikan dan massa tali sangat kecil sehingga dapat
diabaikan relatif terhadap bola.
Gambar di atas memperlihatkan pendulum sederhana yang terdiri dari tali dengan panjang L dan bola
pendulum bermassa m. Gaya yang bekerja pada bola pendulum adalah gaya berat (w = mg) gaya
tegangan tali FT. Gaya berat memiliki komponen mg cos teta yang searah tali dan mg sin teta yang tegak
lurus tali. Pendulum berosilasi akibat adanya komponen gaya berat mg sin teta. Karena tidak ada gaya
gesekan udara, maka pendulum melakukan osilasi sepanjang busur lingkaran dengan besar amplitudo
tetap sama.
Hubungan antara panjang busur x dengan sudut teta dinyatakan dengan persamaan :
x = Lq
(ingat bahwa sudut (q ) adalah perbandingan antara jarak linear x dengan jari-jari lingkaran (r) jika
dinyatakan dalam satuan radian. Karena lintasan pendulum berupa lingkaran maka kita menggunakan
pendekatan ini untuk menentukan besar simpangannya. Jari-jari lingkaran pada kasus ini adalah
panjang tali L)
Syarat sebuah benda melakukan Gerak Harmonik Sederhana adalah apabila gaya pemulih sebanding
dengan simpangannya... Apabila gaya pemulih sebanding dengan simpangan x atau sudut teta maka
pendulum melakukan Gerak Harmonik Sederhana.
Gaya pemulih yang bekerja pada pendulum adalah –mg sin teta. Secara matematis ditulis :
F = - mg sin q
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Tanda negatif menunjukkan bahwa gaya mempunyai arah yang berlawanan dengan simpangan sudut
teta. Berdasarkan persamaan ini, tampak bahwa gaya pemulih sebanding dengan sin teta, bukan dengan
teta. Karena gaya pemulih F berbanding lurus dengan sin teta bukan dengan teta, maka gerakan
tersebut bukan merupakan Gerak Harmonik Sederhana. Alasannya jika sudut teta kecil, maka panjang
busur x (x = L kali teta) hampir sama dengan panjang L sin teta (garis putus-putus pada arah horisontal).
Dengan demikian untuk sudut yang kecil, lebih baik kita menggunakan pendekatan :
sinq »q
Sehingga persamaan gaya pemulih menjadi :
F = -mg sinq » -mgq
Karena
x = Lq
L
x ®q =
Maka kita obok-obok persamaan di atas menjadi :
L
x
F = -mg
x
L
mg
F = -
Persamaan ini sesuai dengan hukum Hooke,
F = -kx
Di mana konstanta gaya efektif adalah :
L
mg
k =
Periode Pendulum Sederhana
Periode pendulum sederhana dapat kita tentukan menggunakan persamaan :
k
m
T = 2p
Konstanta gaya efektif k kita ganti dengan mg/L :
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
mg L
m
T = 2p
g
L
T = 2p ®q kecil
Ini adalah persamaan periode pendulum sederhana
Frekuensi Pendulum Sederhana
T
f
1 =
g
L
f
2p
1 =
L
g
f
2p
1 = ®q kecil
Ini adalah persamaan frekuensi pendulum sederhana
Keterangan :
T adalah periode, f adalah frekuensi, L adalah panjang tali dan g adalah percepatan gravitasi.
Berdasarkan persamaan di atas, tampak bahwa periode dan frekuensi getaran pendulum sederhana
bergantung pada panjang tali dan percepatan gravitasi. Karena percepatan gravitasi bernilai tetap, maka
periode sepenuhnya hanya bergantung pada panjang tali (L). Dengan kata lain, periode dan frekuensi
pendulum tidak bergantung pada massa beban alias bola pendulum. Anda dapat dapat membuktikannya
dengan mendorong seorang yang gendut di atas ayunan. Bandingkan dengan seorang anak kecil yang
didorong pada ayunan yang sama.
Contoh soal 1 :
Sebuah pendulum melakukan 40 getaran dalam 20 sekon. Hitunglah periode dan frekuensi-nya...
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Panduan Jawaban :
a) Periode
Periode adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu getaran lengkap. Karena pendulum
melakukan 40 getaran dalam 20 detik, maka satu getaran dilakukan selama 2 detik (40/20 = 2). Jadi
T = 2 detik...
b) Frekuensi
Frekuensi adalah banyaknya getaran yang dilakukan dalam satu detik. Karena satu getaran dilakukan
selama 2 detik, maka dalam satu detik pendulum melakukan setengah getaran. Kita juga
menghitungkan menggunakan persamaan di bawah :
T
f
1 =
0,5
2
1 f = = getaran.
Jadi dalam satu detik pendulum melakukan setengah getaran lengkap.
Contoh soal 2 :
a) Hitunglah panjang pendulum pada jam yang berdetak sekali tiap detik
b) Berapa periode jam dengan pendulum yang panjangnya 0,5 meter ?
Anggap saja percepatan gravitasi (g) = 10 m/s2
Panduan jawaban :
a) Panjang pendulum pada jam yang berdetak sekali tiap detik
Karena jam berdetak sekali perdetik, maka kita bisa menganggap jam melakukan satu getaran selama
satu detik (T= 1 sekon).
Untuk menentukan panjang pendulum, kita menggunakan persamaan :
g
L
T = 2p
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
(10 / )
4
(1 )
4
2
2
2
2
2
m s
sekon
g
T
L
p p
= =
(10 / )
(4)(3,14)
(1 ) 2
2
2
m s
sekon
L =
(10 / )
39,4
1 2
2
m s
s
L =
(10 / )
39,4
1 2
2
m s
s
L =
L = 0,25m
Jadi panjangnya 0,25 meter (tidak tepat 0,25 meter karena dipengaruhi oleh faktor pembulatan).
b) Periode jam dengan pendulum yang panjangnya 0,5 meter ?
10 / 2
0,25
(2)(3,14)
m s
meter
T =
T = (2)(3,14) 0,158s 2
T = 0,99 sekon
Periode getaran-nya adalah 0,99 sekon (hasilnya tidak tepat = 0,99 sekon karena dipengaruhi oleh faktor
pembulatan)
Catatan :
Dalam kenyataannya, jam pendulum tidak tepat melakukan Gerak Harmonik Sederhana (GHS) karena
adanya gaya gesekan. Setelah berayun beberapa kali, amplitudonya semakin berkurang akibat adanya
gaya gesek. Hal tersebut mempengaruhi ketepatan jam pendulum, di mana periode pendulum sedikit
bergantung pada amplitudo (simpangan maksimum). Agar amplitudo jam pendulum tetap, sehingga
periode ayunan tidak bergantung pada amplitudo, maka pada jam pendulum disertakan juga pegas
utama (pada jam besar disertakan beban pemberat) yang berfungsi untuk memberikan energi untuk
mengimbangi gaya gesekan dan mempertahankan amplitudo agar tetap konstan.
Visit http://www.gurumuda.com – Gudang Ilmu Fisika Gratis
Referensi :
Giancoli, Douglas C., 2001, Fisika Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
Halliday dan Resnick, 1991, Fisika Jilid I (Terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
Tipler, P.A.,1998, Fisika untuk Sains dan Teknik–Jilid I (terjemahan), Jakarta : Penebit Erlangga
Young, Hugh D. & Freedman, Roger A., 2002, Fisika Universitas (terjemahan), Jakarta : Penerbit Erlangga
Pertama x
ini blog aku...pertama x.sebenarnya sih bukan yang pertama tapi karena yang pertama gagal untuk di update terpaksa deh aku buat yang baru. lumayan jadi pembelajaran. yang ini kayaknya lebih mantap..:-) hehehehe..
yang pengen kenalan ma aku gak usah ragu dan sungkan..silahkan aja kasih komentar disini. ditunggu ya.mana tau bisa jadian.
yang pengen kenalan ma aku gak usah ragu dan sungkan..silahkan aja kasih komentar disini. ditunggu ya.mana tau bisa jadian.
Langganan:
Postingan (Atom)
